prada是什么品牌

'n Punt M met poolko?rdinate $r$ en $\theta$

'n Polêre rooster met die ko?rdinaatlyne wat bestaan uit konsentriese sirkels in rooi waar $r$ = konstant en strale in blou waar $\theta$ = konstant is. In hierdie geval is $\theta$ 'n veelvoud van 30°.

百度 莫斯科3月24日报道，俄罗斯国民近卫军驻车臣部队24日遭遇恐怖袭击，总统普京要求团结各方力量，共同打击恐怖主义。

In wiskunde is die poolko?rdinatestelsel, of poolko?rdinaatstelsel, 'n twee-dimensionele ko?rdinatestelsel waarin punte aangegee word deur 'n hoek en 'n afstand. Die poolko?rdinatestelsel word in baie velde gebruik insluitend wiskunde, fisika, ingenieurswese, navigasie en robotika. Dit is veral nuttig in omstandighede waar die verhouding tussen twee punte geredelik in terme van hoeke en afstande bepaal kan word; in die Cartesiese ko?rdinatestelsel kan sulke verhoudings slegs deur trigonometriese formules gevind word. Vir baie soorte krommes is 'n poolvergelyking die eenvoudigste wyse van voorstelling; en vir sommige die enigste.

Aangesien die ko?rdinatestelsel tweedimensioneel is word elke punt deur twee polêre ko?rdinate bepaal: die radiale-ko?rdinaat en die hoekko?rdinaat. Die radiale-ko?rdinaat (gewoonlik voorgestel deur $r$ of $\rho$) dui die punt se afstand vanaf 'n sentrale punt wat as die pool (ekwivalent aan die oorsprong in die Cartesiese stelsel) bekendstaan. Die hoekko?rdinaat (wat ook bekendstaan as die poolhoek of die asimuthoek, gewoonlik deur $\theta$, $\phi$ of $t$ voorgestel) dui die positiewe of antikloksgewyse hoek tussen die punt en die 0° straal of poolas (wat ekwivalent is aan die positiewe x-as in die Cartesiese ko?rdinaatvlak is) aan. In die poolko?rdinatestelsel is die ko?rdinaatlyne dus konsentriese sirkels ($r$ = konstant) en strale ($\theta$ = konstant) eerder as die reghoekige roosterpatroon wat by die Cartesiese ko?rdinatestelsel ontstaan. Die poolko?rdinatestelsel is dan ook ortogonaal aangesien die ko?rdinaatlyne mekaar teen regtehoeke sny.

Die poolko?rdinatestelsel kan op twee maniere na 'n driedimensionele stelsel uitgebrei word. In die silindriese ko?rdinatestelsel word 'n derde ko?rdinaat bygevoeg wat die hoogte van enige punt bo die vlak aandui, soortgelyk aan die manier waarop die Cartesiese ko?rdinatestelsel na drie dimensies uitgebrei word. In die sferiese ko?rdinatestelsel word 'n punt afgestip deur die ko?rdinate deur twee hoeke en die afstand van die oorsprong te spesifiseer.

Geskiedenis

Bonaventura Cavalieri

Sir Isaac Newton

Dit is bekend dat die Grieke die konsepte van hoek en radius gebruik het. Die sterrekundige Hipparchos (190-120 v.C.) het 'n tabel van koordfunksies opgestel wat die lengte van elke koord vir elke hoek gee en daar is verwysings na sy gebruik van poolko?rdinate in die bepaling van sterposisies. In Oor Spirale, beskryf Archimedes sy beroemde spiraal, 'n funksie waarvan die radius afhang van die hoek. Die Griekse werk het egter nie sover as 'n volle ko?rdinatestelsel gestrek nie.

Daar is verskeie bewerings oor wie poolko?rdinate vir die eerste keer as deel van 'n formele ko?rdinatestelsel gebruik het. Die verhaal van die onderwerp word volledig vertel in Harvard professor Julian Lowell Coolidge se Origin of Polar Coordinates. Gréggoire de Saint-Vincent en Bonaventura Cavalieri het die konsepte onafhanklik op omtrent dieselfde tyd ingevoer. Saint-Vincent het privaat daaroor geskryf in 1625 en dit in 1647 gepubliseer, terwyl Cavalieri dit in 1635 gepubliseer het met 'n gekorrigeerde weergawe wat in 1653 uitgekom het. Poolko?rdinate is aanvanklik vir spesiale doeleindes gebruik vir die studie van sekere krommes voor dit as 'n algemene meetkundige stuk gereedskap aangeneem is. Cavalieri het poolko?rdinate vir die eerste keer gebruik om 'n probleem oor die oppervlak binne 'n Archimedesspiraal op te los. Blaise Pascal het poolko?rdinate vervolgens gebruik om die lengte van paraboliese bo? te bereken. Die probleem is wel te vore deur Roberval opgelos, maar sy oplossing is nie universeel as geldig aanvaar nie. James Gregory het 'n transformasie soortgelyk aan dié van Cavalieri tussen twee individuele krommes waar die oppervlaktes verwant was gebruik en Pierre Varignon het 'n effens aangepaste transformasie gebruik vir die studie van spirale.

In Method of Fluxions (geskryf in 1671, gepubliseer in 1736) was Sir Isaac Newton die eerste wat poolko?rdinate oorweeg het as 'n algemene metode om enige punt in 'n vlak te bepaal. Newton het in Method of Fluxions agt nuwe ko?rdinaatstelesels voorgestel wat bestaan het uit verskillende kombinasies pare van afstande wat radiaal van 'n gegewe punt, of sywaarts teenoor gegewe reguitlyne of kromlynig langs bo? of sirkels gemeet is. Een van die nuwe stelsels, waarna Newton verwys het as Seventh Manner; For Spirals, is in wese wat vandag as die hedendaagse poolko?rdinatestelsel bekendstaan. In Acta eruditorum (1691) het Jacob Bernoulli 'n stelsel met 'n punt op 'n lyn, onderskeidelik genaamd die pool en poolas, gebruik. Ko?rdinate is deur die afstand van die pool en die hoek van die poolas gegee. Bernoulli se werk het gestrek tot bepaling van die buigingsradius van krommes wat in die ko?rdinate uitgedruk is. In 1729, twee jaar ná Newton se dood, het Jacob Hermann poolko?rdinate vir die eerste keer as 'n behoorlike element van beskrywende meetkunde gebruik in sy studie oor lokusse. Hermann het sy vergelyking nie in die moderne vorm uitgedruk nie, maar drie veranderlikes z, m, en n gebruik, waar z die radius was en m en n sinus en kosinus van die poolhoek. Waar sy voorgangers poolko?rdinate vir die studie van spirale gebruik het, het hy dit uitsluitlik vir algebra?ese krommes gebruik.

Die term coordinate polari, Italiaans vir poolko?rdinate, word aan Gregorio Fontana toegeskryf en is deur 18de eeuse Italiaanse skrywers gebruik. Die term is vir die eerste keer in Engels gebruik in George Peacock se 1816 vertaling van Lacroix se Differensiaal- en Integraalanalise.

Alexis Clairaut was die eerste om die uitbreiding van poolko?rdinate na drie dimensies oorweeg, terwyl Leonhard Euler dit ontwikkel het.

Uitstip van punte met poolko?rdinate

Die punte (3,60°) en (4,210°)

Soos in ander tweedimensionele ko?rdinatestelsels is daar twee poolko?rdinate: r (die radiale ko?rdinaat) en θ (die hoekko?rdinaat, poolhoek of asimuthoek, soms voorgestel deur φ of t). Die r-ko?rdinaat verteenwoordig die radiale afstand van die pool af, en die θ-ko?rdinaat die antiklokgewyse (linksom) hoek van die 0° straal (soms die poolas genoem), wat as die positiewe x-as op die Cartesiese ko?rdinaatvlak bekend staan.

Byvoorbeeld, die poolko?rdinate (3,60°) sal afgestip word as 'n punt 3 eenhede van die pool op die 60° straal. Die ko?rdinate (?3,240°) sal ook as die punt afgestip word omdat die negatiewe radiale afstand as 'n positiewe afstand op die oorstaande straal gemeet word (240° ; 180° = 60°).

Een belangrike aspek van die poolko?rdinatestelsel wat nie in die Cartesiese ko?rdinatestelsel is nie is die vermo? om 'n enkele punt met oneindig verskillende ko?rdinate uit te druk. In die algemeen kan die punt (r, θ) uitgedruk word as (r, θ ± n×360°) of (r,  θ (2n + 1)180°), waar n enige heelgetal is. 'n Ander interessante feit oor die afstip van punte in poolko?rdinate is dat indien die r-ko?rdinaat van 'n punt 0 is, sal die punt by die pool gele? wees, ongeag van die θ-ko?rdinaat.

Gebruik van radiaalmeting

Hoeke in poolnotasie word gewoonlik in of grade of radiale uitgedruk waar 2 rad = 360°. Die keuse hang hoofsaaklik van die konteks af. Navigasietoepassings gebruik grade terwyl sommige fisikatoepassings (spesifiek rotasie-meganika) radiaalmetings gebruik, gegrond op die verhouding van die radius van 'n sirkel tot die omtrek daarvan.

Omskakeling tussen pool- en Cartesiese ko?rdinate

Diagram wat die verhouding tussen Cartesiese en poolko?rdinate aandui

Die twee poolko?rdinate r en θ kan na Cartesiese ko?rdinate $x$ en $y$ omgeskakel word deur die trigonometriese funksies:

$x=r\cos \theta \,$

$y=r\sin \theta \,$

terwyl die twee Cartesiese ko?rdinate $x$ en $y$ na die poolko?rdinate $r$ omgeskakel kan word deur

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,$ (deur eenvoudig Pythagoras se stelling toe te pas).

om die hoek ko?rdinaat θ te bepaal moet die volgende twee gedagtes oorweeg word:

• Vir $r$ = 0, kan θ gestel word na enige re?le waarde.
• Vir $r$ ≠ 0, om 'n unieke voorstelling vir θ te verkry, moet dit beperk word tot 'n interval met grootte 2π. Konvensionele keuses vir so 'n interval is [0, 2π) en (?π, π].

Om θ in die interval [0, 2π) te verkry word die volgende gebruik ($\arctan$ of boogtan dui die inverse van die tangens funksie aan):

$\theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{as }}x>0{\mbox{ en }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})+2\pi &{\mbox{as }}x>0{\mbox{ en }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{as }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{as }}x=0{\mbox{ en }}y>0\\{\frac {3\pi }{2}}&{\mbox{as }}x=0{\mbox{ en }}y<0\end{cases}}$

Om θ in die interval (?π, π] te verkry kan die volgende gebruik word:

$\theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{as }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{as }}x<0{\mbox{ en }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{as }}x<0{\mbox{ en }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{as }}x=0{\mbox{ en }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{as }}x=0{\mbox{ en }}y<0\end{cases}}$

'n Mens kan dit vermy om tred te hou met teller en noemer deur die atan2 funksie te gebruik wat aparte argumente vir die teller en noemer is.

Poolvergelykings

Die vergelyking van 'n algebra?ese kromme uitgedruk in poolko?rdinate staan bekend as 'n poolvergelyking, en word gewoonlik geskryf met r as 'n funksie van θ.

Poolvergelykings kan verskillende grade van simmetrie vertoon. As r(-θ) = r(θ) sal die kurwe simmetries om die horisontale (0°/180°) straal wees; as r(π?θ) = r(θ) sal dit simmetries om die vertikale (90°/270°) straal wees; as r(θ?α) = r(θ) sal dit rotasioneel simmetries α° antikloksgewys om die pool wees.

Sirkel

'n Sirkel met die vergelyking r(θ) = 1.

Die algemene vergelyking vir enige sirkel met 'n middelpunt by (r₀, ) en radius a is

$r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}$

Dit kan op verskeie maniere vereenvoudig word om ooreen te kom met meer spesifieke gevalle, soos die vergelyking

$r(\theta )=a\,$

vir 'n sirkel met 'n middelpunt by die pool en 'n radius a.

Lyn

Radiale lyne (die wat deur die pool loop) word voorgestel deur die vergelyking

$\theta =\varphi \,$,

waar φ die hoogtehoek (elevasiehoek) van die lyn is; dit wil sê $\varphi =\arctan(m)$ met m die helling van die lyn in die Cartesiese ko?rdinatestelsel.

Enige lyn wat nie deur die pool gaan nie is reghoekig tot 'n radiale lyn. Die lyn wat die lyn θ = φ reghoekig kruis by die punt (r₀,φ ) het die vergelyking

$r(\theta )={r_{0}}\sec(\theta -\varphi )\,$.

Poolroos

'n Poolroos met vergelyking r(θ) = 2 sin 4θ .

'n Poolroos is 'n beroemde wiskundige kromme wat soos 'n blom met kroonblare lyk, en wat slegs as 'n poolvergelyking uitgedruk kan word. Dit word beskryf deur die vergelykings

$r(\theta )=a\cos(k\theta )\,$ of

$r(\theta )=a\sin(k\theta )\,$

As k 'n heelgetal is sal die vergelykings 'n k-blaar roos produseer as k onewe is, of 'n 2k-blaar roos as k ewe is. As k nie 'n heelgetal is nie word 'n skyf gevorm, aangesien die aantal blare ook nie 'n heelgetal is nie. Let daarop dat dit met die vergelykings onmoontlik is om 'n roos te maak met 2 meer as 'n veelvoud van 4 (2, 6, 10, ens.) blare. Die veranderlike a verteenwoordig die lengte van die blare van die roos.

Archimedesspiraal

Een arm van die Archimedesspiraal met die vergelyking r(θ) = θ vir 0 < θ < 6.

Die Archimedesspiraal is 'n beroemde spriraal wat deur Archimedes ontdek is wat ook slegs deur 'n poolvergelyking uitgedruk kan word. Dit word uitgedruk deur die vergelyking:

$r(\theta )=a+b\theta \,$.

Verandering van die parameter a sal die spiraal draai, terwyl b die afstand tussen die arms beheer, wat altyd konstant is. Die Archimedesspiraal het twee arms, een vir θ > 0 en een vir θ < 0. Die twee arms is glad verbind by die pool. Die spie?lbeeld van een arm oor die 90°/270°-lyn sal die ander arm lewer.

Ke?lsnitte

Ellips, wat die semi-latus rectum vertoon

Ke?lsnitte word uitgedruk deur die vergelyking

$r={l \over (1+e\cos \theta )}$

waar l die semi-latus rectum is en e die eksentrisiteit is.

As e < 1 definieer die vergelyking 'n ellips, as e = 1 definieer dit 'n parabool en as e > 1 definieer 'n hiperbool.

Ander krommes

As gevolg van die sirkulêre basis van die ko?rdinatestelsel is dit baie eenvoudiger om sekere krommes deur 'n vergelyking in poolko?rdinate eerder as in Cartesiese vorm uit te druk. Onder die krommes tel lemniskaat, lima?ons, en kardio?de.

Komplekse getalle

'n Illustrasie van 'n komplekse getal z afgeteken op die komplekse vlak

'n Illustrasie van 'n komplekse getal afgeteken op die komplekse vlak deur van Euler se formule gebruik te maak

Komplekse getalle, geskryf in reghoekige vorm as a + bi, kan ook op twee verskillende maniere in poolvorm uitgedruk word:

1. $r(\cos \theta +i\sin \theta )\,$, afgekort $r{\mbox{ cis }}\theta \,$
2. $re^{i\theta }\,$

wat beide ekwivalent is volgens Euler se formule. Om tussen reghoekige en poolkomplekse getalle om te skakel word die volgende omskakelingsformules gebruik:

$a=r\cos \theta \,$

$b=r\sin \theta \,$

en daarom $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

Vermenigvuldiging, deling, en magsverheffing, en die bepaling van wortels van komplekse getalle is dit baie makliker om poolkomplekse getalle te gebruik as reghoekige komplekse getalle. In afgekorte vorm:

• Vermenigvuldiging:

$(r{\mbox{ cis }}\theta )*(R{\mbox{ cis }}\varphi )=rR{\mbox{ cis }}(\theta +\varphi )\,$

• Deling:

${\frac {r{\mbox{ cis }}\theta }{R{\mbox{ cis }}\varphi }}={\frac {r}{R}}{\mbox{ cis }}(\theta -\varphi )\,$

• Magsverheffing (De Moivre se formule):

$(r{\mbox{ cis }}\theta )^{n}=r^{n}{\mbox{ cis }}(n\theta )\,$

Analise

Analise kan op vergelykings wat in poolko?rdinate uitgedruk is toegepas word.

Die hoekko?rdinaat θ word in hierdie afdeling deurgaans in radiale uitgedruk.

Differensiasie

Ons het die volgende formules:

$r{\tfrac {\partial }{\partial r}}=x{\tfrac {\partial }{\partial x}}+y{\tfrac {\partial }{\partial y}}\,$

${\tfrac {\partial }{\partial \theta }}=-y{\tfrac {\partial }{\partial x}}+x{\tfrac {\partial }{\partial y}}.$

Om die Cartesiese helling van die raaklyn aan die poolkromme r(θ) by enige gewe punt te verkry word die punt eers as 'n stel parametriese vergelykings geskryf.

$x=r(\theta )\cos \theta \,$

$y=r(\theta )\sin \theta \,$

Differensiasie van beide vergelykings met betrekking tot θ lewer

${\frac {dx}{d\theta }}=r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta \,$

${\frac {dy}{d\theta }}=r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta \,$

Deur die tweede vergelyking deur die eerste te deel word die Cartesiese helling van die raaklyn tot die kromme by punt (r, r(θ)) verkry:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta }{r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta }}$

Intergraalanalise

Die integrasie oor gebied R word begrens deur die kromme r(θ) en die strale θ = a en θ = b.

Laat R die gebied aandui ingesluit deur r(θ) en die strale θ = a en θ = b, waar 0 < b ? a < 2π. Dan is die oppervlak van R

${\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r(\theta )^{2}\,d\theta .$

Die gebied R word benader deur n sektore (hier, n = 5).

Hierdie resultaat kan as volg gevind word. Eers word die interval [a, b] verdeel in n subintervalle, waar n 'n arbitrêre positiewe heelgetal is. Dus Δθ, die lengte van elke subinterval, is gelyk aan b ? a (die totale lengte van die interval), gedeel deur n, die aantal subintervalle. Vir elke subinterval i = 1, 2, …, n, laat θ_i die middelpunt van die subinterval wees, en konstrueer 'n sektor met die middelpunt by die pool, radius r(θ_i), sentrale hoek Δθ en booglengte $r(\theta _{i})\Delta \theta \,$. Die oppervlak van elke gekonstrueerde sektor is dus gelyk aan ${\tfrac {1}{2}}r(\theta _{i})^{2}\Delta \theta$. Gevolglik is die totale oppervlak van al die sektore

$\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\theta _{i})^{2}\,\Delta \theta .$

Soos die aantal subintervalle n vermeerder word, word die benadering van die oppervlak al hoe beter. In die limiet soos n → ∞, word die som die Riemann som vir die bostaande integraal.

Veralgemening

Deur Cartesiese ko?rdinate te gebruik kan 'n infinitesimale oppervlak element bereken word as dA = dx dy. Die substitusie re?l vir vermenigvuldiging stel dat, wanneer ander ko?rdinate gebruik word, die Jacobiaanse determinant van die ko?rdinateomskakelingformule oorweeg moet word:

$J=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\theta +r\sin ^{2}\theta =r.$

Gevolglik kan 'n oppervlak element in poolk?rdinate geskryf word as

$dA=J\,dr\,d\theta =r\,dr\,d\theta .$

Nou, 'n funksie wat in poolko?rdinate gegee word kan as volg ge?ntegreer word:

$\iint _{R}f(r,\theta )\,dA=\int _{a}^{b}\int _{0}^{r(\theta )}f(r,\theta )\,r\,dr\,d\theta .$

Hier is R dieselfde gebied as hier bo, naamlik, die gebied ingesluit deur 'n kromme r(θ) en die strale θ = a en θ = b.

Die formule vir die oppervlak van R word verkry deur f identies gelyk aan 1 te neem. 'n Meer verrassende toepassing van hierdie resultaat gee die Gauss integraal

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$

Vektoranalise

Analise kan toegepas word op uitdrukkings in poolko?rdinate. Laat $\mathbf {r}$ die posisievektor $(r\cos(\theta ),r\sin(\theta ))\,$ wees, met r en $\theta$ wat afhang van tyd t, laat ${\hat {\mathbf {r} }}$ 'n eenheidsvektor in die regting $\mathbf {r}$ wees en ${\hat {\boldsymbol {\theta }}}$ 'n eenheidsvektor reghoekig tot $\mathbf {r}$. Die eerste een tweede afgeleides van posisie is

${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},$.

${\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.$

Laat $\mathbf {A}$ die oppervlakte wees gevee deur 'n lyn wat die fokus met 'n punt op die kromme verbind. In die limiet is $d\mathbf {A}$ helfte van die oppervlak van die parallelogram gevorm deur $\mathbf {r}$ en $d\mathbf {r}$,

$dA={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}|\mathbf {r} \times d\mathbf {r} |$,

en die totale oppervlak sal die integraal van $d\mathbf {A}$ met betrekking tot tyd wees.

Drie dimensies

Die poolko?rdinatestelsel word deur twee verskillende ko?rdinatestelsels na drie dimensies uitgebrei, die silindriese en sferiese ko?rdinatestelsels.

Silindriese ko?rdinate

'n Punt afgestip met silindriese ko?rdinate

Die silindriese ko?rdinatestelsel is 'n ko?rdinatestelsel wat die tweedimensionele poolko?rdinatestelsel uitbrei na drie dimensies deur 'n derde ko?rdinaat by te voeg wat die hoogte van enige punt bo die vlak aandui, soortgelyk aan die manier waarop die Cartesiese ko?rdinatestelsel na drie dimensies uitgebrei word. Die derde dimensie word gewoonlik deur h voorgestel wat die drie ko?rdinate (r, θ, h) lewer.

Die drie silindriese ko?rdinate kan na Cartesiese ko?rdinate omgeskakel word deur

${x}={r}\,\cos \theta$

${y}={r}\,\sin \theta$

${z}={h}\,$

Sferiese ko?rdinate

'n Punt afgestip deur middel van sferiese ko?rdinate

Poolko?rdinate kan ook na drie dimensies uitgebrei word deur die sferiese ko?rdinatestelsel. In die ko?rdinatestelsel word 'n punt afgestip deur die ko?rdinate (ρ, φ, θ) waar ρ afstand van die pool is, φ die hoek van die z-as (bekend as die Engels: colatitude of zenith en gemeet van 0 tot 180°) en θ die hoek van die x-s (soos in die poolko?rdinatestelsel). Die sferiese ko?rdinatestelsel soortgelyk aan die breedtegraad en lengtegraad stelsel wat op die aarde gebruik word, met die breedtegraaddie komplement van φ, wat bepaal word deur δ = 90° ? φ, en die lengtegraad gemeet word deur l = θ ? 180°.

Die drie sferiese ko?rdinate word omgekakels na Cartesiese ko?rdinate deur

$x=\rho \,\sin \phi \,\cos \theta$

$y=\rho \,\sin \phi \,\sin \theta$

$z=\rho \,\cos \phi$

Toepassings

Poolko?rdinate is tweedimensioneel en kan dus slegs gebruik word waar punte op 'n enkele tweedimensionele vlak lê. Poolko?rdinate is veral geskik in gevalle waar die verskynsel wat beskryf word inherent verband hou met die lengte en rigting van 'n sentrale punt. Elementêre poolko?rdinaatvergelyking kan by voorbeeld krommes soos die Archimedesspiraal beskryf terwyl die ekwivalente vergelyking in Cartesiese ko?rdinate heelwat meer ingewikkeld sou wees. Verder word baie fisiese verskynsels, soos die wat bemoei is met liggame wat om 'n sentrale punt beweeg of waar verskynsels hulle oorsprong by 'n sentrale punt het, kan baie eenvoudiger en op meer intu?tiewe wyse gemodelleer wanneer poolko?rdinate gebruik word. Die aanvanklike rede vir die invoer van die poolko?rdinatestelsel was om die studie van sirkulêre en orbitale beweging moontlik te maak

Posisie en navigasie

Poolko?rdinate word baiekeer in navigasie gebruik aangesien die bestemming en bewegingsrigting as 'n hoek en die afstand van voorwerp wat beskou word gegee kan word. Vliegtuie gebruik byvoorbeeld 'n effens aangepaste weergawe van die poolko?rdinatestelsel vir navigasie. In die stelsel, wat gewoonlik vir enige vorm van navigasie gebruik word, word die 0° straal gewoonlik 360 genoem, en word die hoek in kloksgewyse rigting gemeet eerder as in die teenkloksgewyse rigting wat in die wiskundige stelsel gebruik word. 360 kom ooreen met Noord, terwyl 90, 180, en 270 onderskeidelik met Oos, Suid, en Wes, ooreenkom. Dus sal 'n vliegtuig wat teen 5 seemyl oosvlieg teen 5 eenhede in rigting 90 (lees niner-zero lugverkeerbeheer) wees.

Modellering

Stelsel wat radiale simmetrie vertoon vorm 'n natuurlike toepassingsveld vir die poolko?rdinatestelsel, met die middelpunt wat as die pool dien. 'n Goeie voorbeeld van die gebruik is die grondwatervloeivergelyking wanneer toegepas op radiaal simmetriese putte. Stelsels met 'n radiale krag is ook goeie kandidate vir die gebruik van die poolko?rdinatestelsel. Dit sluit in gravitasievelde, wat die omgekeerde-vierkantwet gehoorsaam, sowel as stelsels met puntbronne soos radio antennes.

Radiaal asimmetriese stelsels kan ook met poolko?rdinate gemodelleer. 'n Mikrofoon se opvangspatroon illustreer byvoorbeeld die eweredige reaksie tot 'n inkomende klank uit enige gegewe rigting, en die patrone kan voorgestel word as polêre krommes. Die kromme van 'n standaard kardio?edmikrofoon, die mees algemene eenrigtingmikrofoon, kan voorgestel word as r = .5 + .5 sin θ.

Kepler se wette van planetêre beweging

Kepler se tweede wet

Poolko?rdinate is 'n natuurlike omgewing vir die uitdruk van Kepler se wette van planetêre beweging. Kepler se eerste wet stel dat die wentelbaan van 'n planeet om 'n ster 'n ellips vorm met een fokus by die middelpunt van die massamiddelpunt van die stelsel. Bogenoemde vergelyking kan gebruik word om die ellips voor te stel. Kepler se tweede wet, die wet van gelyke oppervlaktes stel dat 'n lyn wat 'n planeet en sy ster verbind gelyke oppervlaktes vee tydens die gelyke tydintervalle, dit wil sê $d\mathbf {A} \over dt$ is konstant. Die vergelykings kan afgelei word van Newton se bewegingswette.